Matematička ljepota prirode

Fraktali se nalaze u samim temeljima prirode. Zbog svoje samosličnosti odnosno specifike ponavljanja oblika, možemo ih vidjeti svuda u prirodi. Oblik sadrži energiju, onda je jasno da je izvor energije kod fraktala neograničen!! Dakle, fraktali nam poklanjaju neograničeno jak izvor energije. Putovanjem kroz fraktalne dimenzije možemo sebe dovesti izvan granica poznatog, svakodnevnog, pri čemu ostajemo u granicama prirodne skladnosti. Fraktali ojačavaju specifične frekvencije, prema tome fraktalne slike možemo koristiti u nalaženju frekvencija koje oslikavaju naše neograničeno slobodno razmišljanje i maštanje.

Matematička definicija glasi: Fraktal je skup tačaka čija je fraktalna dimenzija veća od topološke dimenzije.

Jedan od najstarijih primjera fraktala je Kohova pahulja iz 1905. godine.
Postoje razne vrste fraktala: drveta, sniježne pahulje, krive koje popunjavaju prostor itd.

Mandelbrot set je vjerovatno najpoznatiji fraktal. Njegov autor je Benoa Mandelbrot, francuski matematičar poljskog porijekla, koji se proslavio zahvaljujući radovima iz fraktalne geometrije. Njegova nestvarna ljepota čini ga nezaobilaznim subjektom u grafičkim programima.

Iako izgleda beskonačno kompleksno, Mandelbrot set je jako jednostavna jednačina Zn = Zn-12 + C, gdje su Zn i C kompleksni brojevi. Zapravo, Mandelbrot set pokazuje koliko brzo stepen Zn teži beskonačnosti za različite vrijednosti C.

L-sisteme je otkrio teorijski biolog Aristid Lindenmayer da bi pokazao rast i razvoj biljaka. Njima se modeluje topologija biljaka, odnosno relacije između susjednih ćelija ili većih djelova biljke. Dakle, L-sistemi su nastali kao teorijski okvir za izučavanje razvoja prostih višećelijskih organizama (npr. nekih algi) i kasnije primijenjeni u izučavanju većih biljaka i biljnih organa. Njima su ubrzo pridružena geometrijska svojstva, tako da modeli biljaka predstavljeni L-sistemima uz pomoć kompjuterske grafike postaju sredstvo za vizuelizaciju strukture i razvoja biljaka. Međutim, L-sistemi prelaze granice botanike. Oni se mogu shvatiti kao opšti mehanizam za generisanje složenih struktura u raznim disciplinama. Te strukture nijesu isključivo statične; moguće je simulirati komunikaciju između djelova, razvoj u vremenu, uticaj okoline, nastanak novih i umiranje starih djelova…

L-sistem je sistem zamjene. Rast se odvija po fazama. U svakoj fazi se neki elementi zamjenjuju novim elementima.

Prvi radovi na temu grafičke interpretacije L-sistema potiču iz 1974. godine. Od tada je razvijeno više geometrijskih interpretacija sa ciljem da L-sistemi postanu pogodan i moćan alat za modelovanje složenijih i većih biljaka. Na primjer, metoda crtanja sa kornjačom:

Stanje kornjače se definiše uređenom trojkom (x,y,α), gdje su (x,y) Dekartove koordinate i predstavljaju položaj kornjače u ravni, a α je ugao (naziva se usmjerenje) koji određuje pravac u kojem je kornjača okrenuta.
Neka su zadati dužina koraka d i ugao okretanja δ. Kornjača sada može da izvršava komande predstavljene sljedećim simbolima :

• F – idi naprijed za dužinu d. Novo stanje kornjače je , gdje je i . Izvršavanjem ove komande se crta linija između tačaka i
• G – idi naprijed za dužinu d, ali ne crtaj liniju.
• + – skreni u lijevo za ugao δ. Novo stanje kornjače je (x,y, α+δ)
• – skreni u desno za ugao δ. Novo stanje kornjače je (x,y, α-δ)
skreni u desno za ugao δ. Novo stanje kornjače je (x,y, α-δ)